Глава 3

К вопросу об онтологии молочных поросят

в которой в частности объясняется, почему нельзя перечислить всех животных, включая Лунного Зайца, Свинью в Оковах и Слона, предсказавшего рождение Будды

2_borges_classification_of_animals_bw.pn

1

1

Мишель Фуко* в предисловии к своей книге "Слова и вещи" пишет:
 

Эта книга вызвана к жизни одним из произведений Борхеса. Точнее — смехом, прозвучавшим под влиянием его чтения, смехом, который колеблет все привычки нашего мышления — нашего по эпохе и географии — и сотрясает все координаты и плоскости, упорядочивающие для нас великое разнообразие существ, вследствие чего утрачивается устойчивость и надежность нашего тысячелетнего опыта Тождественного и Иного. 

[далее следует вышеприведённая классификация]

Предел нашего мышления — то есть совершенная невозможность мыслить таким образом — вот что сразу же открывается нашему взору, восхищенному этой таксономией; вот какое экзотическое очарование иного способа мыслить предстает перед нами под покровом аполога.
[...]
Замешательство, заставляющее смеяться при чтении Борхеса, без сомнения, сродни глубокому расстройству тех, речь которых нарушена: утрачена «общность» места и имени. Атопия, афазия. Тем не менее текст Борхеса имеет иную направленность; это искажение классификационного процесса, препятствующее нам осмыслить его. 

Онтологию можно определить просто: наука, изучающая структуру и категории бытия. "Это называется просто?", скажет возмущённый читатель, и будет прав. Да, можно ещё проще: онтология отвечает на вопрос "что вообще есть?" Однако, вместе с простотой этого вопроса мы получаем кучу проблем; понятно, что есть - животные, нарисованные тончайшей кистью из верблюжьей шерсти и животные, нарисованные толстой кистью из верблюжьей шерсти; есть разбитые вазы и бронзовые статуи, есть слова и вещи, есть Мишель Фуко и Клод Леви-Стросс, есть Борхес и его книги, его портреты и воспоминания о нём разных людей; и представления о нём тех, кто был с ним знаком; и воспоминания о своих представлениях о нём тех, кто никогда его не знал; есть свежие огурцы и гнилые помидоры (которые вот-вот полетят в автора-графомана) - и так далее, до бесконечности. 
На этом месте мы как раз и вступаем в область классификации животных, представленной выше. Потому что становится ясно, что одним вопросом "что вообще есть?" здесь не обойтись. Нужно ещё задаться вопросом "а что именно мы имеем в виду, когда задаём этот вопрос?" Какова методология отбора и классификации? Этими вопросами занимается метаонтология

Тот самый вопрос "Что вообще есть?" как определение онтологии задал Уиллард ван Орман Куайн**, который популяризировал идею о том, что задача онтологии - написать что-то вроде полного каталога мировой мебели.
Этот каталог должен перечислить всё, что есть на свете, при этом не включая ничего такого, чего на свете нет. 
Онтология, определённая таким образом, может представлять собой некую предварительную основу метафизики: сначала мы проведём полную инвентаризацию реальности, после чего уже можно будет задаваться вопросами о природе, структуре и свойствах предметов, перечисленных в описи***. 

Легко, однако, объявить о намерении перечислить всё на свете - гораздо трудней найти способ осуществить это в реальности. Понято, что никакого единого мнения по поводу того как именно это сделать, не существует. Множество философов спорят о методологии - то есть, обсуждают вопросы метаонтологии -  создания такого рода каталога - в отличие от Наныча,  который, ничтоже сумняшеся, взял и создал классификацию животных для энциклопедии императора безо всякой методологии. Как далеко современным философам удалось уйти вперёд от такого рода классификации - вопрос открытый. 

 

Естественно, наш главный герой Мартин Хайдеггер не остался в стороне. И само собой разумеется, онтология, предложенная им, носит звание фундаментальной (каков философ, такая и онтология). 
Вспомним комментарий 9 Главы 2. По Хайдеггеру феноменология - это и есть онтология. Его подход состоит в том, что, в отличие от более ранних философов, Хайдеггер не пытается изолировать людей от мира, в котором они живут.  Согласно до-хайдеггеровской мысли, если мир находится "снаружи", то задача мыслителя состоит в отстранённом изучении того, что находится за его пределами его "ума". Мы - люди - независимо существующие мыслящие объекты, полностью отделенные от мира. Мы субъекты, а мир - наш объект. Хайдеггер же говорит, что мы не можем смотреть на мир объективно, потому что мир не находится и не может быть вне нас. Мы неразрывно связаны с внешним миром, погружены в него с рождения, вброшены**** в него. Мы барахтаемся в гигантской паутине взаимосвязей всего со всем в мире. Вспомним эпиграф - "всё взаимосвязано", говорит нам Томас Пинчон. 

Итак, чтобы "каталогизировать" некий объект, онтология Хайдеггера пытается пережить и понять Бытие этого объекта, с помощью полного погружения в этот объект. В тот момент, когда сила нашей онтологической мысли достигает необходимой проникающей интенсивности, сущность объекта выходит на поверхность, и нам раскрывается его истинная природа*****.

 

Согласно Хайдеггеру, главная трудность, с которой сталкивается

онтология, заключается в том, что Бытие не обладает 

никакими измеримыми свойствами и характеристиками. Вы не можете увидеть, услышать или попробовать Бытие на вкус, поэтому понять его - это не то же самое, что понять (пощупать) какой-то объект. Хайдеггер называет такое несходство между осязаемыми объектами и Бытиём онтологическим различием. При этом он замечает, что Бытие ближе всего к человеку, потому что оно является неотъемлемой сутью (основой, фоном, бэкграундом - кому как больше нравится) его существования, и в то же время оно наиболее удалено от него, поскольку не является сущностью, которую - как мы уже сказали выше - можно пощупать.
(Вспомните притчу про рыбок из комментария 7 Главы 1). 

Заметьте как нас снова и снова преследует одна и та же проблема: мы не можем ощутить Бытие "находясь внутри него", сами будучи его частью.  Чтобы "увидеть" Бытие, мы должны как бы посмотреть на него снаружи (что бы это ни значило), выработать специальный метаязык, на котором можно было бы обсуждать слова нашего, погружённого в Бытие, языка.  
Как рыбам увидеть воду, в которой они живут?

Мишель Фуко - французский философ и культуролог, один из столпов структурализма - направления мысли, основанного на поиске общих структур культуры, общества, языка, текстов, мифов и так далее. 

** Уиллард Ван Орман Куайн - американский философ и логик, который во многом несёт ответственность за возрождение интереса к онтологии у современных философов. 

(см. продолжение сноски)

*** Один - весьма удивительный - опыт прикладной онтологии - перечисление и описание "всего, что есть" в пределах крайне ограниченной вселенной (письменного стола) представлен в книге "An Anecdoted Topography of Chance"

(см. продолжение сноски)

**** Согласно Хайдеггеру, мы «брошены» в этот мир. Вброшенность (Geworfenheit) - одно из главных свойств Дазайна. Силы случая или судьбы определяют наше место рождения, религию, культуру, семью и окружающую среду. Мы не выбирали ни один из аспектов нашего существования, и все же они фундаментально влияют на нашу текущую ситуацию и все наши будущие возможности. 
Мы не имеем ни малейшего представления, откуда мы пришли и почему мы здесь.
Как здесь не вспомнить знаменитую картину Гогена "Откуда мы пришли? Кто мы? Куда мы идём?" 

(см. продолжение сноски)

***** Вспомние шуточное определение heidegger из "Философского лексикона" служащее нам эпиграфом:

A ponderous device for boring through thick layers of substance. “It’s buried so deep we’ll have to use a heidegger.”

Теперь оно обрело смысл. 

** (продолжение сноски)

Одна из радикальных идей Куайна заключается в том, что всё в мире можно представить в виде чистых множеств

Чистым называется множество, чьи элементы сами являются чистыми множествами. Например, немецкий математик Эрнст Цермело представлял натуральные числа с помощью чистых множеств таким образом:

0 = {}           (0 -  это пустое множество)
1 = {{}}       (множество, элементом которого является предыдущее число 0, то есть {})
2 = {{{}}}   (множество, элементом которого является предыдущее число 1, то есть {{}})
и так далее. 

Идея Куайна заключается в том, что все физические вещи можно представить математически (в виде пространственно-временных координат, их определяющих). А как мы только что увидели, все математические вещи (числа) можно представить в виде чистых множеств. Таким образом, всё в мире представимо в виде чистых множеств. Проще говоря, всё физическое во Вселенной есть математическая структура


Куайн известен ещё множеством разных полезных вещей, но для наших целей наиболее интересен так называемый парадокс Куайна. Он связан с парадоксом лжеца, который в самой своей простой форме выглядит так: "я всегда лгу" или "это утверждение ложно". Проблема с парадоксом лжеца заключается в том, что предложение "это утверждение" явно ссылается само на себя. Парадокс Куайна призван исправить это недоразумение с помощью хитроумного устройства предложения, которое не ссылается на само себя, но при этом всё равно является парадоксальным:
 

"yields falsehood when preceded by its quotation" yields falsehood when preceded by its quotation.
(что-то вроде "даёт ложь, если ему предшествует его цитата", даёт ложь, если ему предшествует его цитата). 

Без того, чтобы глубоко закопаться в разбор этого парадокса, заметим лишь, что первое предложение, заключённое в кавычки
("yields falsehood when preceded by its quotation" ) и есть подлежащее, относящееся к сказуемому "yields", то есть:


"yields falsehood when preceded by its quotation"  (← всё это предложение в кавычках - подлежащее)
yields (← это слово yields - сказуемое)
falsehood when preceded by its quotation.

 

Дуглас Хофштадтер (ещё одно из важнейших действующих лиц нашей повести; как обычно - встреча с ним впереди) говорит, что парадокс лжеца в форме Куайна всё-таки является неявным видом ссылки предложения на само себя, и с этим трудно не согласиться. Хофштадтер же предложил называть компьютерные программы, печатающие свой собственный текст, quine в честь Куайна. Вы поймёте почему, взглянув на одну из таких программ на языке программирования Smalltalk:
 

[:s| Transcript show: s, s printString; cr ]
value: '[:s| Transcript show: s, s printString; cr ] value: '

 

Ничего не напоминает? Запустив эту программу в среде Smalltalk на экране вывода вы увидите

[:s| Transcript show: s, s printString; cr ]
value: '[:s| Transcript show: s, s printString; cr ] value: '

то есть, ровно тот же текст, что и текст самой программы. Программы quines стали очень популярны, и теперь они созданы практически для каждого языка программирования. 

*** (продолжение сноски)

Как же родилась эта своеобразная онтология?

17 октября 1961 года, в 3.47 дня, художник Даниэль Спёрри нарисовал на большом листе бумаги все предметы, случайным образом лежавшие в эту минуту на письменном столе его номера в парижском отеле. Скрепки, пробки для вина, спичечные коробки, сгоревшие спички, банки для специй, столовые приборы, остатки хлеба, просыпанная соль - ничего не было упущено, ничто не было сочтено слишком незначительным. Затем каждый предмет - общим числом 80 - был пронумерован и аннотирован в соответствующей заметке. Так появилась книга - вернее, её начало. Спёрри подобнейшим образом описал один объект за другим, отмечая все детали, описывая внешний вид, тексты на упаковках, стоимость товара и т. д. Многие примечания были снабжены дополнительным анекдотическим материалом - таким как обстоятельства приобретения предметов, их использование, истории, касающиеся друзей и знакомых Спёрри, краткие описания того, как они оказались на столе и тому подобное. В 1962 году вышло первое издание книги, но этим дело не кончилось. Друзья Спёрри продолжили его дело и дополнили описания предметов своими комментариями, замечаниями, дополнениями и сносками. Книга выдержала ещё несколько изданий, каждый раз обрастая новыми подробностями☆☆.

**** (продолжение сноски)
 

Вброшенность в мир, экзистенциальный выбор, бытие-в-мире, я и мои обстоятельства...
Как тебе такое, Мартин Хайдеггер? -

Ревет сынок. Побит за двойку с плюсом,
Жена на локоны взяла последний рубль,
Супруг, убитый лавочкой и флюсом,
Подсчитывает месячную убыль.
Кряхтят на счетах жалкие копейки:
Покупка зонтика и дров пробила брешь,
А розовый капот из бумазейки
Бросает в пот склонившуюся плешь.
Над самой головой насвистывает чижик
(Хоть птичка божия не кушала с утра),
На блюдце киснет одинокий рыжик,
Но водка выпита до капельки вчера.
Дочурка под кроватью ставит кошке клизму,
В наплыве счастья полуоткрывши рот,
И кошка, мрачному предавшись пессимизму,
Трагичным голосом взволнованно орет.
Безбровая сестра в облезлой кацавейке
Насилует простуженный рояль,
А за стеной жиличка-белошвейка
Поет романс: "Пойми мою печаль"
Как не понять? В столовой тараканы,
Оставя черствый хлеб, задумались слегка,
В буфете дребезжат сочувственно стаканы,
И сырость капает слезами с потолка.


Саша Чёрный, "Обстановочка"

Нет, Сартр, нет, Камю, это вам не café au lait в парижском кафе потягивать...

☆ С этой концепцией мы ещё встретимся. Её апологет - шведско-американский физик Макс Тегмарк. 

Надеюсь, ППЧ уже догадался, что книга Даниэля Спёрри послужила огромным источником вдохновения для автора вот этой самой книги, которую вы сейчас читаете. 
Ну, и как уже было сказано, и эта книга, и собственно сама "Анекдотическая топография случая" обязаны своей структурой еврейскому талмуду. 

13.png

2

3

2

3

Зная, с каким проницательным читателем мы имеем дело, не стоило бы и утруждать себя объяснением того, что Наныч цитирует Белую Королеву из "Алисы в зазеркалье":

Alice laughed. ‘There’s no use trying,’ she said: ‘one can’t believe impossible things.’

‘I daresay you haven’t had much practice,’ said the Queen. ‘When I was your age, I always did it for half-an-hour a day. Why, sometimes I’ve believed as many as six impossible things before breakfast. 

Однако тогда, во-первых, мы не смогли бы насладиться отрывком из письма Кэрролла, который приводит в своих чудесных комментариях к "Алисе" Мартин Гарднер:
 

В письме к маленькой Мэри Макдоналд (1864) Кэрролл предостерегал:

"В следующий раз не торопись верить тому, что тебе говорят. И вот почему: если ты станешь всему верить, мускулы твоего воображения утомятся, и ты настолько ослабнешь, что не сможешь поверить даже в самые простые и очевидные истины. Не далее как на прошлой неделе, один мой приятель решил поверить в Джека-Победителя-Великанов. Это ему удалось, но он при этом так утомился, что, когда я сказал ему, что на дворе идет дождь (так оно и было на самом деле), он просто не смог мне поверить и выбежал на улицу без шляпы и без зонта..."

А во-вторых, хочется заметить, что самый известный перевод Нины Демуровой, к сожалению, здесь хромает:
 

— Это не поможет! — сказала она. — Нельзя поверить в невозможное!

— Просто у тебя мало опыта, — заметила Королева. — В твоем возрасте я уделяла этому полчаса каждый день! В иные дни я успевала поверить в десяток невозможностей до завтрака! 

 

Юмор этого замечания Королевы заключается именно в точной цифре невозможных вещей, в которые она успевала поверить до завтрака - не в пять и не в семь, а именно в шесть!
В переводе же Демуровой половина этого юмора исчезает: ведь сказать "в десяток невозможностей" - это начисто обезличить точное число (то же самое как сказать "я тебе уже десять раз сказал!" - при этом все прекрасно понимают, что слово "десять" просто заменяет слово "много")*. 

Этой невинной, но непонятной фразой Наныч открывает дверь в необъятную тему теоремы Гёделя о неполноте. Собственно, в качестве примера он как раз и утверждает невозможное согласно этой теореме, а именно:
1) если в системе доказуемы только истинные теоремы (то есть, система непротиворечива - в ней нельзя доказать ни одно ложное утверждение), то
2) в ней существуют недоказуемые истинные теоремы (то есть, система неполна - в ней нельзя доказать все истинные утверждения). 

 

- Нет, всё равно ничего не понятно! - справедливо возмущается читатель. Зачем здесь всё это? Какую-то арифметику приплёл...
Успокоим нетерпеливого читателя: теореме Гёделя в этой книге будет посвящена целая глава! И это не случайно, потому что теорема эта имеет крайне важное значение для наших целей. Гёдель сделал то, что не удаётся (и вряд ли когда-либо удастся) философам: он сумел посмотреть на некую систему снаружи, находясь внутри самой этой системы (то есть, говоря на её языке о ней самой).  
Всё ещё непонятно? Читайте дальше!

* Хорошо хоть, что другие переводчики не внесли отсебятину:
 

– Не получается, – сказала она. – Ну как можно поверить в невозможное?

– Постепенно, – наставляла Королева. – Когда я была такая же молоденькая, как ты, я занималась этим ежедневно по полчаса. До завтрака мне удавалось поверить в шесть самых невозможных невозможностей.
(Л. Яхнин)

 

– У меня ничего не выйдет, – объяснила она. – Я не умею верить в небылицы.

– Надо учиться, – наставительно сказала Королева. – В твои годы я тратила на это не менее получаса в день. Порою я ухитрялась поверить в целых шесть небылиц!
(Ю. Лифшиц)

14.png

4

4

Вы не поверите, но на вопрос о бытии сказочных существ можно дать три разных ответа:
1) Реалистические абстракционисты говорят, что сирены, единороги и русалки - это реально существующие абстрактные артефакты
2) Мейнонгианцы утверждают, что это несуществующие объекты
3) Фикционалисты вообще ни в каких единорогов не верят. 

Реалистический абстракционизм называется так потому, что признаёт за вымышленными (абстрактными) объектами реальное существование. Так же, как стулья и столы, единороги являются артефактами: они созданы в результате человеческой деятельности. В отличие от стульев и столов единороги абстрактны - их нельзя встретить и пощупать за рог (так же как, например, нельзя поручить Шерлоку Холмсу - любимый пример всех онтологов - расследовать настоящее преступление). Тем не менее, Шерлок Холмс и единороги существуют в реальности как артефакты


Мейнонг* предложил другое решение: если некоторый объект не может быть существующим, то пусть это просто будет несуществующий объект**. 
Мейнонгианство - это по сути дела реализм вымышленных объектов: единороги действительно существуют - они присутствуют в мире в качестве несуществующих животных. 

Цель фикционализма - освободить нас от онтологической зависимости от вымышленных объектов. Фикционалисты допускают существование вымышленных объектов внутри определённой модели мира - игры с чётко обозначенными правилами или художественного произведения. Но этих объектов нет в реальном мире - они не являются ни абстрактными артефактами (как говорят реалистические абстракционисты), ни "реально существующими несуществующими объектами" (как утверждают последователи Мейнонга).   


Разговор о существовании и несуществовании можно закончить, сделав шаг в сторону - или, можно даже сказать, в другое измерение. Речь пойдёт о Тао***. Вспомним Рэймонда Смаллиана (из комментария 10 Главы 2). В той же книге "Тао молчит" Смаллиан сообщает нам нечто важное, а именно: Тао не является ни абстрактным артефактом, ни несуществующим объектом, ни вымышленным объектом, заданным в рамках некоей модели. Тао - вне категории существования. Можно даже, наверное, сказать, что Тао есть источник категории существования Бытия:

Тао превыше бытия и небытия. Существование предназначено для людей, которые используют слова. Но Тао не пользуется словами. Оно тихое, как цветок. Слова возникают из Тао - Тао рождает слова, но не использует их.

* Тот самый, из комментария 2 Главы 2

**  Игры в определения несуществующих объектов далеко не так безобидны (в философском смысле слова, конечно) , как может показаться.  
Отказавшись признавать существование в качестве реального предиката, Иммануил Кант опроверг так называемое "онтологическое доказательство существования бога". 

(см. продолжение сноски)

*** В русской транскрипции часто также "Дао". 

** (продолжение сноски)

Онтологическое доказательство существования бога было предложено средневековым философом и епископом Ансельмом Кентерберийским (Ансельм, кстати, пребывает в четвёртой сфере Рая у Данте а "Божественной Комедии: "Нафан - пророк, и тот, кого зовут Золотоустым, и Ансельм с Донатом, К начатку знаний приложившим труд"). 
Заключается оно в следующем:

 

(1) Бог (если он есть) это самое великое из всех существ.  
(2) Представим, что Бога на самом деле нет, и он существует только в нашем воображении. 

(3) Однако, быть реально существующим более велико (значимо), чем существовать только в воображении. 

(4) Таким образом, если наше предположение (2) верно, то нечто реально существующее будет более велико, чем Бог, существующий только в воображении.  
(5) А это противоречит аксиоме (1). Значит (2) неверно, и Бог существует. 


"Итак, столь воистину обладаешь Ты бытием, Господи Боже мой, что небытия Твоего нельзя помыслить", – так заканчивается доказательство Ансельма.

Каким же образом Кант опроверг онтологическое доказательство?
☆☆
"Быть существующим" не есть обычное свойство объекта", такое как, например, "быть круглым и блестящим" - предположил Кант, отвергая, таким образом" свойство существования в качестве предиката. 
Если же существование - это не свойство, то у него не может быть и степеней (в отличие от "этот самовар блестит ярче, чем тот"). Таким образом, существование в реальности нельзя сравнить с существованием в воображении (см. тезис (3)). Вопрос о том, какое из этих двух "существований" более велико, теряет смысл. 
Довольно-таки абсурдное высказывание "Этот самовар на столе существует сильнее, чем тот, который я сейчас представил" - вот в чём смысл опровержения Канта. Или, говоря словами самого Канта: 

"Сто действительных талеров не содержат в себе ни на йоту больше, чем сто возможных талеров". 

 

История на этом, однако, не заканчивается, потому что на сцену выходит человек, с которым мы только что познакомились, и с которым мы скоро познакомимся гораздо ближе - Курт Гёдель (да-да, всё тот же, из комментария 3). Будучи логиком, Гёдель привёл своё собственное онтологическое доказательство существования бога, основанное на модальной логике. Если обычная логика говорит о том, что всегда верно или всегда неверно, то модальная логика имеет дело с возможностью; в ней применяются такие операции как "так было всегда", "так когда-то было", "так будет всегда", "так когда-нибудь будет" и тому подобные. 
Модальную логику в ещё одном доказательстве существования бога применил и религиозный философ Алвин Плантинга. Доказательство это выглядит примерно так:
Некая сущность совершенна, если она совершенна во всех возможных мирах (иначе это противоречит определению совершенства). Назовём такую сущность "Богом". Представим себе мир, в котором Бог существует - уж если мы говорим обо всех возможных мирах, а не только о нашем, сугубо материалистическом и не допускающим существование никакого бога - то наверняка же во всём бесконечном разнообразии миров можно себе представить и такой, в котором существует Бог. Но если Бог (а его мы определили как сущность, совершенную настолько, что она совершенна во всех возможных мирах) существует хотя бы в одном возможном мире, то он обязан (по определению) существовать и во всех возможных мирах. 

Поверил ли читатель в существование бога в этом месте, мы не знаем. А вот то, что эту бесконечную сноску пора заканчивать, знаем наверняка. 

☆ Наш друг Хорхе Луис и здесь не остался в стороне. Приведём его собственное орнитологическое доказательство существования бога целиком:
 

Argumentum  Ornithologicum (Орнитологическое доказательство)


Закрываю  глаза  и  вижу стайку  птиц.  Зрелище  длится секунду, а то и меньше; сколько их, я не заметил. Можно их  сосчитать или нет? В этой задаче - вопрос о бытии Бога. Если Бог  есть, сосчитать можно,  ведь Ему известно, сколько птиц я видел. Если Бога нет, сосчитать нельзя, поскольку сделать это некому. В таком случае  допустим, что  птиц меньше десяти и больше одной, но не девять,  восемь,  семь,  шесть, пять, четыре,  три,  две. Иными  словами, искомое  число --  между  десяткой  и  единицей, но  не девятка,  восьмерка, семерка, шестерка, пятерка и т.д. А такое  целое число помыслить невозможно: ergo, Бог есть.

Насколько это доказательство строго и доказательно оставляем решать читателю в качестве домашнего задания. Есть подозрение, что Борхес посмеялся над нами, заменив слово "онтологическое" на схожее с ним "орнитологическое". 

☆☆ Пришло время проверить автора на стойкость... Нет, не удержался:
– Взять бы этого Канта, да за такие доказательства года на три в Соловки!

14a.png
15.png
16.png

5

6

5

Мистер Цо, конечно, погорячился, и это на самом деле не настоящий парадокс Рассела. Разберём подробней. 
Великий британский философ, математик и общественный деятель Бертран Рассел ещё встретится нам на этих страницах в качестве автора "Principia Mathematica" - монструозного труда по основаниям математики, написанного совместно с Альфредом Нортом Уайтхедом. Сейчас же нам интересен тот момент истории, когда Рассел подорвал основания теории множеств, изобретя свой парадокс*.   

 

Популярный вариант парадокса Рассела имеет непосредственное отношение к бритью:
Один деревенский брадобрей объявил, что он бреет всех жителей деревни, которые не бреются сами, и не бреет тех жителей, которые бреются сами. Однажды он задумался над вопросом, должен ли он брить самого себя - и по вполне понятным причинам оказался в безвыходном положении — он не мог ни брить себя, ни не брить.
А теперь приведём этот парадокс в канонической форме:


Рассмотрим 
множество А = { молочные поросята, бродячие собаки, сирены }
и
множество B = { молочные поросята, бродячие собаки,
                                     { молочные поросята, бродячие собаки } }. 

Множество В иначе можно записать и так:
B = {
молочные поросята, бродячие собаки, В }. 

То есть, множество В содержит само себя (аналогом этого будет категория "включённые в эту классификацию" у Борхеса и Наныча).


Теперь определим специальное множество R таким образом:

R = { множества, которые не содержат самих себя }.
 

Из этого определения понятно, что наше множество А входит в R, а множество В не входит в R, потому что оно содержит само себя.    

А теперь ответьте: является ли множество R элементом самого себя?
Если R является элементом R, то по определению,  R не является элементом самого себя. Напротив, если R не является элементом самого себя, то оно должно входить в R, опять же по определению R. Это и есть парадокс Рассела. 

Чувствуете дуновение ветра? Это снова пронеслась туча, собравшаяся в самом конце комментария 1**. Кажется, что парадоксы и проблемы возникают всегда и везде, когда речь заходит о чём-то, ссылающемся само на себя. Можем ли мы постичь бытие самих себя, являясь продуктом этого бытия? Может ли множество множеств, не содержащих самих себя, содержать само себя?

Разгадка - по крайней мере парадокса Рассела - заключается в более точных определениях и разделении семантики и логики. Сам Рассел назвал это принципом порочного круга: "если для того, чтобы определить множество, необходимо использовать само это множество, то определение не имеет смысла". Пуанкаре предложил для этого специальный термин "непредикативное определение": это определение, в котором некий объект описывается через класс объектов, содержащий сам определяемый объект (см. определение множества R). Такие определения нельзя считать законными, и это снимает парадокс***. 

6

По всей видимости не только нашего Императора смущала возможность существования бесконечности. Фома Аквинский, христианский богослов и философ XIII в., писал:
 

Существование актуального бесконечного множества невозможно, ибо любое множество вещей, которое мы себе представляем, должно быть множеством некоего вида. К тому же множества вещей определяются числом вещей в них. Однако никакое число не бесконечно, ибо числа порождаются пересчетом множества единиц****. Следовательно, никакое множество вещей не может ни быть актуально бесконечным по своей природе, ни случайно стать бесконечным.

Фома Аквинский, очевидно, имел в виду Виджняна - один из буддистских способов познания мира (из комментария 10 Главы 2). Жаль, он не подозревал, что ещё есть понятие Праджня. Вот что нам сообщает по этому поводу Д.Т.Судзуки:

Виджняна никогда не достигает бесконечности. Выписывая подряд числа 1, 2, 3 и т. д., мы никогда не дойдём до конца, потому что ряд продолжается до бесконечности. Складывая вместе эти отдельные числа, мы пытаемся найти их сумму, но, поскольку числа бесконечны, эта сумма никогда не может быть найдена. Праджня, с другой стороны, интуитивно охватывает всё множество чисел целиком, вместо того, чтобы двигаться через 1, 2, 3 к бесконечности. Праджня как бы схватывает реальность изнутри.

Здесь неожиданно на сцене возникает Моцарт, письмо которого о том, как к нему приходят музыкальные идеи, цитирует Хайдеггер:

Одна за другой части [музыкального произведения] приходят ко мне, как будто я собираю торт из крошек по правилам контрапункта. Он всё увеличивается и увеличивается, пока вещь не становится почти целиком законченной в моей голове ... так что потом я смотрю на неё целиком, одним взглядом в уме, и слышу в воображении, но не поочередно, нота за нотой, как это должно выйти в конце, а как будто всю сразу ...

Если кто-то и постиг Праджня в совершенстве, это был Моцарт. 

*  Кстати, неплохо было бы поговорить и о парадоксах вообще. 

Уже знакомый нам из комментария 1 Уиллард ван Орман Куйан дал одно из самых влиятельных определений парадокса. 

(см. продолжение сноски)

** На самом деле она сгустилась ещё в сноске ** комментария 11 Главы 1

(см. продолжение сноски)

*** Разрешить подобного рода парадоксы призвана система аксиом теории множеств Цермело-Френкеля. 
Да-да, того самого Цермело из сноски ** комментария 1. 

**** Ох, не подозревал Фома Аквинский, что и пересчёт множества единиц - это ещё не конец истории, а только её начало, и надо ждать ещё несколько веков до рождения Георга Кантора 

(см. комментарий 8). 

* (продолжение сноски)

Оксфордский словарь английского языка определяет парадокс как "утверждение или принцип, противоречащий общепринятому мнению или ожиданиям". Куайн же считал, что такое определение упускает из виду центральную роль аргументации, поэтому дал такое определение: "парадокс - это просто любое заключение, которое сначала звучит абсурдно, но имеет аргумент, подтверждающий его". "Луна сделана из сыра" - принцип, противоречащий общепринятому мнению, станет парадоксом тогда, когда будет подкреплен вескими доводами. 

 

В качестве примера приведём парадокс, который станет важным вступлением к разговору о теореме Гёделя, упомянутой в комментарии 3. 

Этот парадокс изобрёл французский математик Жюль Ришар, а упрощённую его версию предложил Дж.Дж. Берри:

Каждое целое число можно описать множеством разных способов. Например, число 42 можно описать двумя словами "сорок два", или как "число, следующее за числом сорок один", или фразой "пятое число Каталана", или "ответ на главный вопрос жизни, вселенной и всего такого". Рассмотрим теперь все возможные описания, состоящие не более чем из 100 букв русского алфавита. Таких описаний не больше чем 33^100; поэтому существует лишь конечное множество целых чисел (не большее чем 33^100), задаваемых всеми возможными описаниями. Следовательно, существуют какие-то целые числа, не задаваемые описаниями, состоящими не более чем из 100 букв. Рассмотрим "наименьшее число, не задаваемое описанием, которое содержит не более ста букв". Но мы только что привели описание такого числа, содержащее только 65 букв - следовательно, это число принадлежит множеству чисел задаваемых описанием, содержащих не более ста букв. А это противоречит самому определению такого числа. 

У этого парадокса, однако, есть опровержение. Для начала отбросим шутовское определение числа 42 как "ответ на главный вопрос жизни, вселенной и всего такого". Оно не имеет права быть в одном ряду с чисто арифметическими описаниями, потому что требует дополнительного и далеко не арифметического источника - книги Дугласа Адамса "The Hitchhiker's Guide to the Galaxy", где оно и описано вышеприведённым образом. В отличие от такого описания, пятое число Каталана легко вычисляется по чисто математической рекуррентной формуле. Трюк парадокса Ришара-Берри заключается в том, что мы включили в чисто арифметические описания чисел (то есть, описания, построенные с помощью арифметических действий таких как "число, следующее за" или "число Каталана") абсолютно не арифметическое описание "наименьшее число, не задаваемое описанием, которое содержит не более ста букв". 
Как пишут в своей книге "Доказательство Гёделя" Эрнест Нагель и Джеймс Ньюмен:


Таким образом, если мы будем чётко различать утверждения самой арифметики (относящиеся к числам, а отнюдь не к записям, в которые такие числа входят, т. е. к равенствам, неравенствам и вообще формулам) и утверждения относительно арифметики (т. е. как раз утверждения об арифметических формулах), то мы не получим никакого парадокса Ришара.

Главное, что отсюда нужно вынести на будушее: есть большая разница между утверждениями самой арифметики и утверждениями относительно арифметики

**  (продолжение сноски)

Одним из важных символов самореференции (ссылки на самоё себя) является Уроборос (οὐροβόρος по- древнегречески): дракон, кусающий самого себя за хвост. Происхождение его довольно туманно, но известно, что это один из древнейших символов, известных человечеству. Он играл роль в религии, в мифологии множества стран, в алхимии, в поисках философского камня и даже в аналитической психологии Юнга. 
Для наших целей поиск философского камня, конечно же, представляет наибольший интерес. Автор не совсем уверен, но кажется именно этим и заняты наши путешественники. 
Заметим, что тема самореференции - одна из центральных тем этой книги. 

17.png

8

7

7

Приведённые Нанычем в пример сказочные животные взяты из книги Борхеса "Бестиарий. Книга вымышленных существ". 

Лунный заяц - персонаж китайских и японских легенд. Его история необыкновенно трогательна:

В одной из своих прошлых жизней Будда страдал от голода; чтобы его накормить, заяц бросился в огонь. В благодарность Будда отправил его душу на Луну. Там, под сенью акаций, заяц толчет в волшебной ступке снадобья, чтобы составить эликсир бессмертия.

Свинья в оковах - персонаж аргентинского фольклора:

 

В северной части провинции Кордовы [...] народ верит в существование свиньи в оковах, которая, мол, обычно появляется в ночные часы. Люди, живущие вблизи железнодорожной станции, утверждают, будто эта свинья скользит по рельсам, другие говорят, будто она иногда бегает по телеграфным проводам, оглушительно грохоча своими «цепями». Однако никто в глаза не видел это животное — как только вы попытаетесь на него взглянуть, оно странным образом исчезает* .

Слон, предсказавший рождение Будды, не менее важен для истории, чем Свинья в оковах:
 

За пятьсот лет до христианской эры царице Майе привиделся сон, будто в нее вошел белый слон, обитавший на Золотой Горе. У этого возникшего во сне животного было шесть клыков. Царские прорицатели предсказали, что царица произведет на свет мальчика, который станет либо владыкой мира, либо спасителем человечества. Как всем известно, сбылось второе.

8

Может ли что-то быть больше бесконечности?

- Конечно нет! - говорим мы с читателем. 

- Может! - отвечает Георг Кантор**, - если это бесконечность, которую нельзя перечислить. Другими словами, это множество, мощность*** которого больше, чем мощность множества всех натуральных чисел (1, 2, 3, ...). Мощности двух множеств называются одинаковыми, если между ними можно установить вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие.

Самое маленькое трансфинитное кардинальное число называется ℵ0. Это мощность множества натуральных чисел, которое называется счётным, потому что его можно "пересчитать". А вот множество действительных (или вещественных) чисел пересчитать (перечислить) нельзя. Почему именно их нельзя перечислить? Смотрите объяснение Философской Курицы.

Трансфинитным числом называется мощность множества, число элементов которого бесконечно. Гениальная находка Георга Кантора состояла в том, что бесконечности могут быть разного размера, каким бы оксюмороном это ни звучало.   

А что это за штука такая - ℵ0 ?- спросит на этот раз не пресловутый, но пытливый читатель. 
Дело в том, что ℵ - "алеф" - первая буква еврейского алфавита, и к тому же первая буква слова эйнсоф (אין סוף) - "бесконечность"****. 

Иудейское мистическое учение Каббала отождествляет понятие Эйнсоф с Богом, ибо Бог есть понятие настолько огромное, всеобъемлющее, выходящее за рамки любых описаний, определений и понимания, что единственное слово, которое можно сопоставить с этим поистине невообразимым нечто - это эйнсоф. 
(Вспомним доказательство существования бога Ансельма Кентерберийского из комментария 2. Представим, что бог существует в нашем воображении, говорит Ансельм. Есть подозрение, что каббалисты ни за что не согласились бы с этим тезисом: нет такого воображения, которое вместило бы понятие Бога). 
Во всяком случае, теперь понятно, почему Кантор выбрал именно ℵ для обозначения мощности бесконечных множеств.   

 

*  Возникает закономерный вопрос: откуда же известно, что это свинья, если она исчезает как только на неё пытаются взглянуть?
По крайней мере, по грохоту цепей можно определить, что она "в оковах", но почему именно свинья?...

**  Великий немецкий математик Георг Кантор - создатель теории множеств, понятия мощности множества и теории трансфинитных чисел. 
"Никому не изгнать нас из рая, открытого Кантором", - сказал о нём не менее великий немецкий математик Давид Гильберт. 

*** Мощности множеств также называют кардинальными числами. 

**** Здесь мы немедленно должны вспомнить комментарий 2 Главы 2, а именно рассказ "Алеф" Борхеса. Он же не зря так называется!

2_18_bw.png
2_19.png

9

9

 Здесь практически дословно воспроизводится диагональный аргумент Кантора. С помощью него Кантор доказал, что множество действительных чисел не является счётным (то есть, их нельзя перечислить как множество натуральных чисел), а следовательно кардинальное число (мощность) множества действительных чисел больше, чем ℵ0 (см. комментарий 8). 

Доказательство работает от противного: допустим, что можно выписать одно за другим все действительные числа. Получится нечто вроде этого:

0.13975857463...
0.15058493028...
0.23404789367...

0.38764739923...

0.58903785733...

и так далее.

 
Теперь возьмём все цифры, находящиеся на выделенной диагонали и составим из них число:
0.15463...
Проведём простую операцию, например, прибавим к каждой десятичной цифре этого числа единицу:
0.26574...
Может ли полученное число находиться в нашем списке? Нет, потому что его первая цифра отлична от первой цифры числа, находящегося в первой строчке, вторая цифра отлична от второй цифры числа, находящего во второй строчке - какую строчку ни возьми, наше сконструированное число будет отлично от числа, находящегося там. 
Мы пришли к противоречию, а значит, все действительные числа перечислить невозможно. Следовательно, нельзя поставить в соответствие каждому натуральному числу единственное действительное число - получается, что бесконечное число натуральных чисел меньше бесконечного числа действительных чисел

 

Диагональный аргумент применяется в самых разных доказательствах, например в той же теореме Гёделя из комментария 3 или в доказательстве неразрешимости проблемы остановки Алана Тьюринга*. 

 

*  В частности физик и философ Дэвид Дойч - один из отцов идеи квантового компьютера - в своей программной книге "Структура реальности" использует диагональный аргумент

для доказательства того, что никакой физически возможный генератор виртуальной реальности не может сгенерировать полный набор всех логически возможных виртуальных сред. Кажется, читатель может и сам теперь повторить это доказательство.  

Last picture.png

10

10

"Сон в красном тереме" - классический китайский роман XVIII  века Цао Сюэциня - грандиозная сага о трёх поколениях аристократической семьи династии Цин. Эта книга - энциклопедия деталей быта, еды, одежды, развлечений, поэзии, архитектуры, садоводства, убранства помещений, системы взаимоотношений в обществе и т. п.

Википедия сообщает нам, что название романа происходит от идиоматического выражения "красный терем", один из смыслов которого - "помещение, где живут дочери богатых семейств", а другой вероятный источник названия — сон, который герой по имени Баоюй видит в пятой главе: в этом сне судьбы многих героев предсказываются в красной комнате*. Это последнее значение и есть главная причина того, почему Император использует именно красный терем для заточения наших отважных путешественников-супергероев. 

Напоследок автор не может отказать себе в удовольствии привести следующий замечательный отрывок из романа, в котором герои играют в некую застольную игру, больше всего напоминающую Игру в Бисер Германа Гессе:

– Прежде чем пить, пусть проигравший произнесет какое-нибудь древнее выражение, – сказала Сянъюнь, – затем строку из древних стихов, название кости домино, название какого-нибудь мотива и еще изречение из календаря, причем все вместе должно составить фразу. После того как вино будет выпито, следует назвать какой-нибудь плод или блюдо, омоним вещи, употребляемой в обиходе.


 

*  Возможно ли в этом месте не вспомнить Красную комнату из Твин Пикса, известную как "зал ожидания" - аномальное пространство вне измерений, куда можно попасть во сне.