Чудовищные числа

(отрывок из книги Дэвида Дарлинга и Агниджо Банерджи
«Эта странная Математика ») 

В написанном на санскрите индийском тексте приблизительно III века «Лалитавистара» Будда Гаутама описывает математику по имени Арджуна систему счисления, начинающуюся с «коти» — 10 000 000 на санскрите. После коти идет длинный перечень имеющих собственные названия чисел, каждое из которых в 100 раз больше предыдущего: 100 коти называются «аюта», 100 аюта называются «ниюта», и так далее, до числа «таллакшана», представляющего собой единицу с 53 нулями. Он называет и большие числа, такие как «дхваджагравати», равное 10⁹⁹, вплоть до гиганта «уттарапараманураджаправеша» — 10⁴²¹.

Другой буддийский текст идет еще дальше по пути к исполинским, чудовищно большим числам. В «Аватамсака сутре» описан целый космос, состоящий из бесконечного множества взаимопроникающих уровней. В тридцатой главе Будда вновь пространно рассуждает о больших числах начиная с 10¹⁰, после чего возводит его в квадрат, получая 10²⁰, снова возводит в квадрат, получая 10⁴⁰, и продолжает дальше, последовательно переходя к 10⁸⁰, 10¹⁶⁰, 10³²⁰, пока не достигает числа 10¹⁰¹ ⁴⁹³ ³⁹² ⁶¹⁰ ³¹⁸ ⁶⁵² ⁷⁵⁵ ³²⁵ ⁶³⁸ ⁴¹⁰ ²⁴⁰. Возведите его в квадрат, провозглашает Будда, и результат будет «неисчислимым». Однако и на этом он не останавливается. Вслед за «неисчислимым» (очевидно, основательно поработав с санскритским словарем в поисках достойных эпитетов) он продолжает перечислять все большие и большие числа, называя их «безмерным», «безграничным», «несравнимым», «бессчетным», «непостижимым», «немыслимым», «неизмеримым» и «неизъяснимым», завершая всю эту пирамиду «невыразимым», которое, как показывают расчеты, равно 10^10×(2^122) (значок ^ используется, чтобы показать, что одно число возводится в степень другого; таким образом, 10^10×(2^122) — это то же, что и 1010×(2 в 122-й степени)). Рядом с «невыразимым» самое большое число из упомянутых в трудах Архимеда, 10⁸⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰, кажется просто карликом. Чтобы оно попало хотя бы в ту же весовую категорию, его пришлось бы возвести в степень, примерно равную 66 000 000 000 000 000 000.

 

[...]

 

И «невыразимое», и гуголплекс, и числа Скьюза титанически велики для постижения разумом. Но они и рядом не стояли с числом, названным в честь американского математика Рональда Грэма, впервые описавшего его в своей статье 1977 года. Так же как и числа Скьюза, число Грэма — результат работы над серьезной математической проблемой, на этот раз связанной с теорией Рамсея.

Приближаться к числу Грэма нам придется постепенно, подобно альпинистам, покоряющим высочайшие вершины мира. Первым шагом будет знакомство с особым способом записи больших чисел, изобретенным американским ученым в области информатики Дональдом Кнутом и известным как стрелочная нотация. Она основана на том факте, что умножение всегда можно представить как многократное сложение, а возведение в степень — как многократное умножение. Например, 3 × 4 — это то же самое, что 3 + 3 + 3 + 3, а 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3. В нотации Кнута возведение в степень обозначается одиночной стрелкой, направленной вверх: например, гугол, или 10¹⁰⁰, записывается как 10↑100, а три в кубе, или 3³, — как 3↑3. Повторное возведение в степень, для которого нет специального стандартного обозначения, записывается в виде двух стрелок: таким образом, 3↑↑3 = 3^3^3 . Операция ↑↑, называемая тетрацией (поскольку она идет четвертой в иерархии после сложения, умножения и возведения в степень), — штука гораздо более сильная, чем может показаться на первый взгляд. 3↑↑3 = 3^3^3 = 3²⁷, что равно 7 625 597 484 987.

Тетрацию можно представить и в виде степенной башни (кошмар любого наборщика текста). Если с числом a требуется произвести операцию тетрации порядка k, это записывается следующим образом:

M7TEVLMXM9fqTyHG0yUtrw.webp

Иначе говоря, число a возводится в степень, представленную башней высотой в k — 1 этаж.

Темп, с которым растет результат математического действия при добавлении новых стрелок, просто ошеломляет: если 3 × 3 = 9, то 3↑3 дает 27, а 3↑↑3 уже больше 7,6 триллиона (13-значное число). Результат тетрации числа 4 еще поразительнее: 4↑↑4 = 4↑4↑4↑4 = 4↑4↑256, что приблизительно равно 10↑10↑154 — то есть больше гуголплекса (10↑10↑100). Перевалить за это огромное число нам удалось с помощью всего-то одной четверки и нескольких простых значков.

Но раз мы сделали такой гигантский шаг, перейдя от простого возведения в степень к тетрации, то, наверное, если добавить еще одну стрелку, можно получить что-то еще более впечатляющее? Что ж, интуиция нас не обманывает. При повторной тетрации, называемой пентацией, результат вырастает так, что аж дух захватывает! Ничем не примечательная запись 3↑↑↑3 — это то же, что 3↑↑3↑↑3, что, в свою очередь, равно 3↑↑7 625 597 484 987, или 3↑3↑3↑3…↑3, — а это уже степенная башня высотой в 7 625 597 484 987 троек. Если башни в 4 этажа достаточно, чтобы получить число, превышающее гуголплекс, только представьте себе, что получится в этом случае. Это невообразимо большое число: человеческой жизни не хватит, чтобы записать его даже в виде степенной башни. В напечатанном виде такая башня дотянется до самого Солнца.

Это число, известное как «тритри», значительно больше любого из тех, что мы упоминали до сих пор; осмыслить его нам, простым смертным, почти невозможно. А ведь мы еще только начали. Тритри, при всей своей величине, — ничтожная песчинка рядом с величественным пиком, который представляет собой число Грэма. Добавив еще одну стрелку, получим 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑3↑↑↑3 = 3↑↑↑тритри. Давайте разберемся, что это значит. В нагромождении степенных башен самая первая у нас 3; вторая — 3↑3↑3, или 7 625 597 484 987; третья — 3↑3↑3↑3…↑3 c 7 625 597 484 987 тройками, то есть тритри; четвертая — 3↑3↑3↑3…↑3, где тритри троек; и так далее. 3↑↑↑↑3 — это башня под номером тритри. Добавив к трем стрелкам еще одну, мы шагнули на гигантское расстояние, так далеко, что уму непостижимо. А пришли всего лишь к g₁ — самому первому из серии чисел g, необходимых для того, чтобы добраться до вершины, то есть до самого числа Грэма.

После передышки в базовом лагере g₁ продолжаем подъем до следующего лагеря, g₂. Помните, что, добавляя в запись числа всего одну стрелку, мы каждый раз увеличиваем его на чудовищную величину. Теперь внимание! Число g₂ — это 3↑↑↑↑…↑3 с количеством стрелок, равным g₁. Даже робкая попытка осмыслить его масштаб, понять, насколько грандиозными могут быть числа, вызывает головокружение. Всего одна дополнительная стрелка увеличивает результат на феноменальную величину, а в числе g₂ таких стрелок g₁. В числе g₃, как вы уже наверняка догадались, g₂ стрелок, в числе g₄ — g₃ стрелок и так далее. А само число Грэма, G, — это g₆₄. В 1980 году оно было занесено в «Книгу рекордов Гиннесса» как самое большое число, когда-либо использованное в реальном математическом доказательстве.

Отрывок из «Аватамсака сутра»

Screen Shot 2021-02-09 at 15.09.04.png
Screen Shot 2021-02-09 at 15.09.27.png
Screen Shot 2021-02-09 at 15.09.49.png